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排列組合方法
排列組合方法1
一、排列組合部分是中學(xué)數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)之一，原因在于
(1)從千差萬別的實(shí)際問題中抽象出幾種特定的數(shù)學(xué)模型，需要較強(qiáng)的抽象思維能力；
(2)限制條件有時(shí)比較隱晦，需要我們對(duì)問題中的關(guān)鍵性詞(特別是邏輯關(guān)聯(lián)詞和量詞)準(zhǔn)確理解；
(3)計(jì)算手段簡(jiǎn)單，與舊知識(shí)聯(lián)系少，但選擇正確合理的計(jì)算方案時(shí)需要的思維量較大；
(4)計(jì)算方案是否正確，往往不可用直觀方法來檢驗(yàn)，要求我們搞清概念、原理，并具有較強(qiáng)的分析能力。
二、兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理及應(yīng)用
(1)加法原理和分類計(jì)數(shù)法
1．加法原理
2．加法原理的集合形式
3．分類的要求
每一類中的每一種方法都可以獨(dú)立地完成此任務(wù)；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重)；完成此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某一類(即分類不漏)
(2)乘法原理和分步計(jì)數(shù)法
1．乘法原理
2．合理分步的要求
任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務(wù)；各步計(jì)數(shù)相互獨(dú)立；只要有一步中所采取的方法不同，則對(duì)應(yīng)的完成此事的方法也不同
[例題分析]排列組合思維方法選講
1．首先明確任務(wù)的意義
例1.從1、2、3、……、20這二十個(gè)數(shù)中任取三個(gè)不同的數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的不同等差數(shù)列有________個(gè)。
分析：首先要把復(fù)雜的生活背景或其它數(shù)學(xué)背景轉(zhuǎn)化為一個(gè)明確的排列組合問題。
設(shè)a,b,c成等差，∴ 2b=a+c,可知b由a,c決定，又∵ 2b是偶數(shù)，∴ a,c同奇或同偶，即：從1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20這十個(gè)數(shù)中選出兩個(gè)數(shù)進(jìn)行排列，由此就可確定等差數(shù)列，因而本題為2=180。
例2.某城市有4條東西街道和6條南北的街道，街道之間的間距相同，如圖。若規(guī)定只能向東或向北兩個(gè)方向沿圖中路線前進(jìn)，則從M到N有多少種不同的走法?
分析：對(duì)實(shí)際背景的分析可以逐層深入
�。ㄒ唬⿵腗到N必須向上走三步，向右走五步，共走八步。
�。ǘ┟恳徊绞窍蛏线�是向右，決定了不同的走法。
（三）事實(shí)上，當(dāng)把向上的步驟決定后，剩下的步驟只能向右。
從而，任務(wù)可敘述為：從八個(gè)步驟中選出哪三步是向上走，就可以確定走法數(shù)，∴本題答案為：=56。
2．注意加法原理與乘法原理的特點(diǎn)，分析是分類還是分步，是排列還是組合
例3．在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A，B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長(zhǎng)，要求A，B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有______種。
分析：條件中“要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟”這個(gè)條件不容易用一個(gè)包含排列數(shù)，組合數(shù)的式子表示，因而采取分類的方法。
第一類：A在第一壟，B有3種選擇；
第二類：A在第二壟，B有2種選擇；
第三類：A在第三壟，B有一種選擇，同理A、B位置互換，共12種。
例4．從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有________。
(A)240 (B)180 (C)120 (D)60
分析：顯然本題應(yīng)分步解決。
（一）從6雙中選出一雙同色的手套，有種方法；
（二）從剩下的十只手套中任選一只，有種方法。
（三）從除前所涉及的兩雙手套之外的八只手套中任選一只，有種方法；
�。ㄋ模┯捎谶x取與順序無關(guān)，因而（二）（三）中的選法重復(fù)一次，因而共240種。
例5．身高互不相同的6個(gè)人排成2橫行3縱列，在第一行的每一個(gè)人都比他同列的身后的人個(gè)子矮，則所有不同的排法種數(shù)為_______。
分析：每一縱列中的兩人只要選定，則他們只有一種站位方法，因而每一縱列的排隊(duì)方法只與人的選法有關(guān)系，共有三縱列，從而有=90種。
例6．在11名工人中，有5人只能當(dāng)鉗工，4人只能當(dāng)車工，另外2人能當(dāng)鉗工也能當(dāng)車工�，F(xiàn)從11人中選出4人當(dāng)鉗工，4人當(dāng)車工，問共有多少種不同的選法?
分析：采用加法原理首先要做到分類不重不漏，如何做到這一點(diǎn)？分類的標(biāo)準(zhǔn)必須前后統(tǒng)一。
以兩個(gè)全能的工人為分類的對(duì)象，考慮以他們當(dāng)中有幾個(gè)去當(dāng)鉗工為分類標(biāo)準(zhǔn)。
第一類：這兩個(gè)人都去當(dāng)鉗工，有種；
第二類：這兩人有一個(gè)去當(dāng)鉗工，有種；
第三類：這兩人都不去當(dāng)鉗工，有種。
因而共有185種。
例7．現(xiàn)有印著0，l，3，5，7，9的六張卡片，如果允許9可以作6用，那么從中任意抽出三張可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)?
分析：有同學(xué)認(rèn)為只要把0，l，3，5，7，9的排法數(shù)乘以2即為所求，但實(shí)際上抽出的三個(gè)數(shù)中有9的話才可能用6替換，因而必須分類。
抽出的三數(shù)含0，含9，有種方法；
抽出的三數(shù)含0不含9，有種方法；
抽出的三數(shù)含9不含0，有種方法；
抽出的三數(shù)不含9也不含0，有種方法。
又因?yàn)閿?shù)字9可以當(dāng)6用，因此共有2×(+)++=144種方法。
例8．停車場(chǎng)劃一排12個(gè)停車位置，今有8輛車需要停放，要求空車位連在一起，不同的停車方法是________種。
分析：把空車位看成一個(gè)元素，和8輛車共九個(gè)元素排列，因而共有種停車方法。
3．特殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，優(yōu)先考慮
例9．六人站成一排，求
(1)甲不在排頭，乙不在排尾的排列數(shù)
(2)甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數(shù)
分析：（1）先考慮排頭，排尾，但這兩個(gè)要求相互有影響，因而考慮分類。
第一類：乙在排頭，有種站法。
第二類：乙不在排頭，當(dāng)然他也不能在排尾，有種站法，共+種站法。
（2）第一類：甲在排尾，乙在排頭，有種方法。
第二類：甲在排尾，乙不在排頭，有種方法。
第三類：乙在排頭，甲不在排頭，有種方法。
第四類：甲不在排尾，乙不在排頭，有種方法。
共+2+=312種。
例10．對(duì)某件產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品進(jìn)行一一測(cè)試，至區(qū)分出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測(cè)試方法有多少種可能?
分析：本題意指第五次測(cè)試的產(chǎn)品一定是次品，并且是最后一個(gè)次品，因而第五次測(cè)試應(yīng)算是特殊位置了，分步完成。
第一步：第五次測(cè)試的有種可能；
第二步：前四次有一件正品有中可能。
第三步：前四次有種可能。
∴共有種可能。
4．捆綁與插空
例11. 8人排成一隊(duì)
(1)甲乙必須相鄰(2)甲乙不相鄰
(3)甲乙必須相鄰且與丙不相鄰(4)甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰
(5)甲乙不相鄰，丙丁不相鄰
分析：（1）有種方法。
�。�2）有種方法。
�。�3）有種方法。
�。�4）有種方法。
�。�5）本題不能用插空法，不能連續(xù)進(jìn)行插空。
用間接解法：全排列-甲乙相鄰-丙丁相鄰+甲乙相鄰且丙丁相鄰，共--+=23040種方法。
例12.某人射擊8槍，命中4槍，恰好有三槍連續(xù)命中，有多少種不同的情況?
分析：∵連續(xù)命中的三槍與單獨(dú)命中的一槍不能相鄰，因而這是一個(gè)插空問題。另外沒有命中的之間沒有區(qū)別，不必計(jì)數(shù)。即在四發(fā)空槍之間形成的5個(gè)空中選出2個(gè)的排列，即。
例13.馬路上有編號(hào)為l，2，3，……，10十個(gè)路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種?
分析：即關(guān)掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因?yàn)闊襞c燈之間沒有區(qū)別，因而問題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6個(gè)空中選出3個(gè)空放置熄滅的燈。
∴共=20種方法。
4．間接計(jì)數(shù)法.(1)排除法
例14.三行三列共九個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可組成多少個(gè)三角形?
分析：有些問題正面求解有一定困難，可以采用間接法。
所求問題的方法數(shù)=任意三個(gè)點(diǎn)的組合數(shù)-共線三點(diǎn)的方法數(shù)，∴共種。
例15．正方體8個(gè)頂點(diǎn)中取出4個(gè)，可組成多少個(gè)四面體?
分析：所求問題的方法數(shù)=任意選四點(diǎn)的組合數(shù)-共面四點(diǎn)的方法數(shù)，∴共-12=70-12=58個(gè)。
例16. l，2，3，……，9中取出兩個(gè)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，可組成多少個(gè)不同數(shù)值的對(duì)數(shù)?
分析：由于底數(shù)不能為1。
�。�1）當(dāng)1選上時(shí)，1必為真數(shù)，∴有一種情況。
�。�2）當(dāng)不選1時(shí)，從2--9中任取兩個(gè)分別作為底數(shù)，真數(shù)，共，其中l(wèi)og24=log39，log42=log93, log23=log49, log32=log94.
因而一共有53個(gè)。
(3)補(bǔ)上一個(gè)階段，轉(zhuǎn)化為熟悉的問題
例17.六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相鄰)，共有多少種不同的方法?如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢?
分析：（一）實(shí)際上，甲在乙的'前面和甲在乙的后面兩種情況對(duì)稱，具有相同的排法數(shù)。因而有=360種。
（二）先考慮六人全排列；其次甲乙丙三人實(shí)際上只能按照一種順序站位，因而前面的排法數(shù)重復(fù)了種，∴共=120種。
例18．5男4女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序，共有多少種不同的方法?
分析：首先不考慮男生的站位要求，共種；男生從左至右按從高到矮的順序，只有一種站法，因而上述站法重復(fù)了次。因而有=9×8×7×6=3024種。
若男生從右至左按從高到矮的順序，只有一種站法，同理也有3024種，綜上，有6048種。
例19.三個(gè)相同的紅球和兩個(gè)不同的白球排成一行，共有多少種不同的方法?
分析：先認(rèn)為三個(gè)紅球互不相同，共種方法。而由于三個(gè)紅球所占位置相同的情況下，共有變化，因而共=20種。
5．擋板的使用
例20．10個(gè)名額分配到八個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，問有多少種不同的分配方法?
分析：把10個(gè)名額看成十個(gè)元素，在這十個(gè)元素之間形成的九個(gè)空中，選出七個(gè)位置放置檔板，則每一種放置方式就相當(dāng)于一種分配方式。因而共36種。
6．注意排列組合的區(qū)別與聯(lián)系：所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，組合如補(bǔ)充一個(gè)階段(排序)可轉(zhuǎn)化為排列問題。
例21.從0，l，2，……，9中取出2個(gè)偶數(shù)數(shù)字，3個(gè)奇數(shù)數(shù)字，可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)?
分析：先選后排。另外還要考慮特殊元素0的選取。
�。ㄒ唬﹥蓚�(gè)選出的偶數(shù)含0，則有種。
�。ǘ﹥蓚�(gè)選出的偶數(shù)字不含0，則有種。
例22.電梯有7位乘客，在10層樓房的每一層停留，如果三位乘客從同一層出去，另外兩位在同一層出去，最后兩人各從不同的樓層出去，有多少種不同的下樓方法?
分析：（一）先把7位乘客分成3人，2人，一人，一人四組，有種。
�。ǘ┻x擇10層中的四層下樓有種。
∴共有種。
例23.用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，(1)可組成多少個(gè)不同的四位數(shù)?
(2)可組成多少個(gè)不同的四位偶數(shù)?
(3)可組成多少個(gè)能被3整除的四位數(shù)?
(4)將(1)中的四位數(shù)按從小到大的順序排成一數(shù)列，問第85項(xiàng)是什么?
分析：（1）有個(gè)。
（2）分為兩類：0在末位，則有種：0不在末位，則有種。
∴共+種。
（3）先把四個(gè)相加能被3整除的四個(gè)數(shù)從小到大列舉出來，即先選
0，1，2，3
0，1，3，5
0，2，3，4
0，3，4，5
1，2，4，5
它們排列出來的數(shù)一定可以被3整除，再排列，有：4×( )+=96種。
�。�4）首位為1的有=60個(gè)。
前兩位為20的有=12個(gè)。
前兩位為21的有=12個(gè)。
因而第85項(xiàng)是前兩位為23的最小數(shù)，即為2301。
7．分組問題
例24. 6本不同的書
(1)分給甲乙丙三人，每人兩本，有多少種不同的分法?
(2)分成三堆，每堆兩本，有多少種不同的分法？
(3)分成三堆，一堆一本，一堆兩本，一堆三本，有多少種不同的分法？
(4)甲一本，乙兩本，丙三本，有多少種不同的分法?
(5)分給甲乙丙三人，其中一人一本，一人兩本，第三人三本，有多少種不同的分法?
分析：（1）有中。
�。�2）即在（1）的基礎(chǔ)上除去順序，有種。
（3）有種。由于這是不平均分組，因而不包含順序。
�。�4）有種。同（3），原因是甲，乙，丙持有量確定。
�。�5）有種。
例25. 6人分乘兩輛不同的車，每車最多乘4人，則不同的乘車方法為_______。
分析：（一）考慮先把6人分成2人和4人，3人和3人各兩組。
第一類：平均分成3人一組，有種方法。
第二類：分成2人，4人各一組，有種方法。
�。ǘ┰倏紤]分別上兩輛不同的車。
綜合（一）（二），有種。
例26. 5名學(xué)生分配到4個(gè)不同的科技小組參加活動(dòng)，每個(gè)科技小組至少有一名學(xué)生參加，則分配方法共有________種.
分析：（一）先把5個(gè)學(xué)生分成二人，一人，一人，一人各一組。
其中涉及到平均分成四組，有=種分組方法。
（二）再考慮分配到四個(gè)不同的科技小組，有種，由（一）（二）可知，共=240種。
排列組合方法2
1.元素分析法
【例】求7人站一隊(duì)，甲必須站在當(dāng)中的不同站法。
【解析】要求甲必須站在當(dāng)中，因此只需對(duì)其它6人全排列即可，不同的站法共有幾種。
2.位置分析法
【例】求7人站一隊(duì)，甲、乙都不能站在兩端的不同站法。
【解析】先站在兩端的位置有幾種站法，再站其它位置有幾種站法，因此所有不同的站法共有幾種站法。
3.間接法
【例】求7人站一隊(duì)，甲、乙不都站兩端的不同站法。
【解析】考慮對(duì)立事件為甲乙都站在兩端，共有幾種站法;7人站成一隊(duì)所有的'站法共幾種，所以甲乙不都站兩端的不同站法共幾種。
4.捆綁法
【例】求7人站一隊(duì)，甲、乙、丙三人都相鄰的不同站法。
【解析】先將甲、乙、丙看成一個(gè)人，即相當(dāng)于5個(gè)人站成一隊(duì)，有幾種站法，再對(duì)這三個(gè)人全排列即得所有的不同站法共幾種。
5.插空法
【例】求7人站一隊(duì)，甲、乙兩人不相鄰的不同站法。
【解析】先將其它五人全排列，然后將甲、乙兩人插入所產(chǎn)生的6個(gè)空中即可，共幾種不同的站法。
6.留出空位法
【例】求7人站一隊(duì)，甲在乙前，乙在丙前的不同站法。
【解析】由于甲、乙、丙三人的順序一定，因此只要其余4人站好，這7個(gè)人就站好了，不同的站法共有幾種。
7.單排法
【例】求9個(gè)人站三隊(duì)，每排3人的不同站法。
【解析】由于對(duì)人和對(duì)位置都無任何的要求，因此，相當(dāng)于9個(gè)人站成一排，不同的站法顯然共有幾種。
排列組合方法3
1.特殊定位法
排列組合問題中，有些元素有特殊的要求，如甲必須入選或甲必須排第一位；或者有些位置有特殊的元素要求，如第一位只能站甲或乙。此時(shí)，應(yīng)該優(yōu)先考慮特殊元素或者特殊位置，確定它們的選法。
2.反面考慮法
有些題目所給的特殊條件較多或者較為復(fù)雜，直接考慮需要分許多類，而它的反面卻往往只有一種或者兩種情況，此時(shí)我們先求出反面的情況，然后將總情況數(shù)減去反面情況數(shù)就可以了。
例題： 從6名男生、5名女生中任選4人參加競(jìng)賽，要求男女至少各1名，有多少種不同選法？
A．240 B.310 C.720 D.1080
4.歸一法
排列問題中，有些元素之間的排列順序“已經(jīng)固定”，這時(shí)候可以先將這些元素與其他元素進(jìn)行排列，再除以這些元素的全排列數(shù)，即得到滿足條件的排列數(shù)。
例題： 一張節(jié)目表上原有3個(gè)節(jié)目，如果保持這3個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，再添進(jìn)去2個(gè)新節(jié)目，有多少種安排方法？
A.20 B.12 C.6 D.4
解析：此題答案為A。
方法一：“添進(jìn)去2個(gè)新節(jié)目”后，共有5個(gè)節(jié)目，因此，此題相當(dāng)于“安排5個(gè)節(jié)目，其中3個(gè)節(jié)目相對(duì)順序確定，有多少種方法？”
由于“3個(gè)節(jié)目相對(duì)順序確定”，可以直接采用歸一法。
方法二：也可以用插空法，即將2個(gè)新節(jié)目插入原來3個(gè)節(jié)目和兩端之間形成的空處。需要注意的.是，由于插入的2個(gè)新節(jié)目可以相鄰，所以應(yīng)逐一插入。
將第一個(gè)新節(jié)目插入原有3個(gè)節(jié)目和兩端之間形成的4個(gè)空處，有4種選擇；這時(shí)，4個(gè)節(jié)目形成5個(gè)空，再將第二個(gè)新節(jié)目插入，有5種選擇。
根據(jù)乘法原理，安排方法共有4×5=20種。
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